결론 부터 말하자면 확률 변수 X란 ?
확률의 공리를 따르는 현상의 변수가 확률 변수이다. 확률의 공리에 대해선 뒷 부분에서 다루자.
글을 쓰게 된 계기
확률 변수 X에 대한 개념을 이해하기 어려워 작성하게 되었다.
확률 변수란 ?
어떤 사건이 일어날 때 몇 퍼센트 확률로 해당 사건이 일어날 수 있다고 얘기할 수 있다. 대표적인 예로 동전 던지기가 있다. 앞면이 나올 확률 50%, 뒷면이 나올 확률 50%이다. 이 때 하나의 동전을 던질 때 앞면이 나오는 횟수는 0번 또는 1번이다. 앞면이 나오지 않을 확률 50%, 앞면이 나올 확률 50%를 갖는다.
동전 2개를 던져서 앞면이 나올 경우 앞면은 0번 1번 2번 이렇게 총 3가지 경우가 있다. 이 때 책에서 0, 1, 2를 확률 변수로 표현하고 있다. 그리고 각각 25%, 50%, 25% 확률을 갖는다.
그런데 확률 변수가 가질 수 있는 값이 유한할 수도 있고 무한할 수도 있다. 위의 경우가 유한한 경우이다. 그런데 이번에는 주사위 6면에 각각 [0 <= X < 1 사이의 실수, 1<= X < 2, ... 5<= X < 6 ] 의 범위 안에서 특정 숫자가 갑자기 나타나는 주사위가 있다고 생각해보자. 그랬을 때 확률 변수는 무한한 값을 가지게 된다.
유한한 경우 확률분포표인 표를 통해 나타낼 수 있지만 무한한 경우 표를 통해 나타낼 수는 없어 확률밀도함수를 통해 나타낸다. 그래서 적분을 통해 확률 변수의 확률을 구하는 방식을 취한다. 뒤에 말하겠지만 확률 변수에 대한 의미를 정의할 때(동전 한개를 던져서 앞면이 나올 확률에 대한 변수) 확률 변수와 확률곱의 전체 합이 1이 되는 정의만이 유효하다.
0*P(0) + 1**P(1) + 2*P(2) = 1
이를 이해 하기 위해 사건에 대한 개념을 알아보자
사건이란?
과학 실험, 자연 현상, 사회 현상을 관측할 때 가능한 모든 관측 결과들의 집합을 표본 공간이라고 하고 이의 부분집합을 사건이라고 한다. 그리고 각 사건이 일어날 수 있는 가능성을 수량화 한 것이 확률이다.
위 내용을 바탕으로 앞서 봤던 동전 던지기를 바라보았을 때 동전 하나를 계속 던졌을 때를 하나의 세계로 바라보 다. 동전 한개를 단적으로 생각해 보면 해당 세계에서 일어날 수 있는 가능성은 동전 앞면이 나오는 사건, 동전 뒷면이 나오는 사건이다.
사건을 이해하는 것이 중요한 이유는 확률변수 X는 가산가법성을 전제로 하고 있다. 해당 성질은 사건 A1, A2 ... An에 대하여 서로 다른 사건의 공집합이 없다는 것을 전제로 하고 이를 모두 더했을 때 1이 나와야 한다. 위의 예시에서는 동전의 앞면이 나올 사건의 횟수를 기준으로 확률 변수를 정의했을 때 이 모든 변수의 X의 확률을 더했을 때 1이 되게 기준을 잡아야 한다 것을 의미이다.
위 부분을 이해하는 것이 확률 변수를 이해하는데 있어 전제가 되는 부문이라 중요한 것 같다. 따라야 하는 전제는 아래 확률의 공리를 기반으로 한다. 즉 해당 공리 위에서 확률 변수 X를 정의해야 하는 것이다.
확률의 공리
P(A) >= 0
P(S) = 1
P(A1 U A2 U A3 U ... An) = P(A1) + p(A2) + ... + p(An)
그래서 결론?
확률의 공리를 따르는 현상의 변수가 확률 변수이다.